Title: Mathématiques-PTSI / Généralités sur les fonctions

Q: [latex]Fonction paire[/latex]
A: [latex]Pour tout $t\in A$, $-t\in A$ \textbf{et} $f(-t)=f(t)$ [/latex]

Q: [latex]Fonction impaire[/latex]
A: [latex]Pour tout $t\in A$, $-t\in A$ \textbf{et} $f(-t)=-f(t)$ [/latex]

Q: [latex]Symétrie de la courbe représentative d'une fonction paire[/latex]
A: [latex]Symétrique par rapport à l'axe des ordonnées[/latex]

Q: [latex]Symétrie de la courbe représentative d'une fonction impaire[/latex]
A: [latex]Symétrique par rapport à l'origine[/latex]

Q: [latex]Fonction périodique de période $T$ [/latex]
A: [latex]Pour $T$ un réel strictement positif.
Pour tout réel $t\in A$, $t+T\in A$ \textbf{et} $f(t+T)=f(t)$.[/latex]

Q: [latex]Fonction périodique[/latex]
A: [latex]Il existe un $T>0$ tel que la fonction soit $T$-périodique.[/latex]

Q: [latex]Que dire de la somme de deux fonctions $T$-périodiques ?[/latex]
A: [latex]Elle est $T$-périodique.[/latex]

Q: [latex]Fonction croissante sur $A$ [/latex]
A: [$] \forall (x,x')\in A^2, \, x\leq x'\implies f(x)\leq f(x') [/$]

Q: [latex]Fonction strictement croissante sur $A$ [/latex]
A: [$] \forall (x,x')\in A^2, \, x< x'\implies f(x)< f(x') [/$]

Q: [latex]Fonction décroissante sur $A$ [/latex]
A: [$] \forall (x,x')\in A^2, \, x\leq x'\implies f(x)\geq f(x') [/$]

Q: [latex]Fonction strictement décroissante sur $A$ [/latex]
A: [$] \forall (x,x')\in A^2, \, x< x'\implies f(x)> f(x') [/$]

Q: [latex]Fonction monotone sur $A$ [/latex]
A: [latex]$f$ est croissante sur $A$ ou décroissante sur $A$.[/latex]

Q: [latex]Fonction strictement monotone sur $A$ [/latex]
A: [latex] $f$ est strictement croissante sur $A$ ou strictement décroissante sur $A$.[/latex]

Q: [latex]Si $f$ est strictement monotone alors $f$ est...[/latex]
A: [latex]injective[/latex]

Q: [latex]Fonction majorée sur $A$ [/latex]
A: [latex] $f(A)$ est majorée. Autrement dit, $$\exists M \in \mathbb{R}, \, \forall x \in A, \, f(x)\leq M$$ [/latex]

Q: [latex]Fonction minorée sur $A$ [/latex]
A: [latex] $f(A)$ est minorée. Autrement dit
$$ \exists M \in \mathbb{R}, \, \forall x \in A, \, M\leq f(x)$$
[/latex]

Q: [latex]Fonction bornée sur $A$ [/latex]
A: [latex]Trois définitions équivalentes :
\begin{itemize}
\item $f$ est majorée et minorée sur $A$
\item $\abs{f}$ est majorée sur $A$.
\item $\exists M \in \mathbb{R}, \, \forall x \in A, \, \abs{f(x)}\leq M$
\end{itemize}
[/latex]

Q: [latex]Maximum d'une fonction $f$ sur $A$.[/latex]
A: [latex]S'il existe, c'est le maximum de l'ensemble $f(A)$. On a $\max_A f= \max f(A)$.[/latex]

Q: [latex]Minimum d'une fonction $f$ sur $A$.[/latex]
A: [latex]S'il existe, c'est le minimum de l'ensemble $f(A)$. On a $\min_A f= \min f(A)$.[/latex]

Q: [latex]Extremum d'une fonction $f$ sur $A$ [/latex]
A: [latex]S'il existe, le maximum ou le minimum de $f$ sur $A$.[/latex]

Q: [latex]Borne supérieure de $f$ sur $A$ [/latex]
A: [latex]Si elle existe, c'est la borne supérieure de l'ensemble $f(A)$.
 On a $\sup_A f= \sup f(A)$.[/latex]

Q: [latex]Borne inférieure de $f$ sur $A$.[/latex]
A: [latex]Si elle existe, c'est la borne inférieure de l'ensemble $f(A)$.
On a $\inf_A f= \inf f(A)$.[/latex]

Q: [latex]Une condition suffisante d'existence de la borne supérieure de $f$ sur $A$.[/latex]
A: [latex]Si $f$ admet un maximum sur $A$, alors $f$ admet une borne supérieure sur $A$ et $\sup_Af=\max_Af$.
[/latex]

Q: [latex]Une condition suffisante d'existence de la borne inférieure de $f$ sur $A$.[/latex]
A: [latex]Si $f$ admet un minimum sur $A$, alors $f$ admet une borne inférieure sur $A$ et $\inf_Af=\min_Af$.
[/latex]

Q: [latex]Continuité de $f$ en $a\in I$ [/latex]
A: [$] \lim_{x\to a}f(x)=f(a) [/$]

Q: [latex]Continuité de $f$ sur un intervalle $I$ [/latex]
A: [latex] $f$ est continue en tout point de $I$.[/latex]

Q: [latex]Théorème des valeurs intermédiaires[/latex]
A: [latex]
\begin{itemize}
\item Formulation 1 : Soient $I$ un intervalle, $f:I\to \mathbb{R}$ continue, $(a,b)\in I^2$ avec $a<b$. Alors pour tout $y\in \mathbb{R}$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=y$. Autrement dit, $[f(a),f(b)]$ ou $[f(b),f(a)]\subset f([a,b])$
\item Formulation 2 : Si $f$ est continue, alors l'image d'un intervalle par $f$ est un intervalle.
\end{itemize}
[/latex]

Q: [latex]Dérivabilité de $f$ en $a\in I$ [/latex]
A: [latex]Le taux de variation (ou d'accroissement) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite finie quand $h\to 0$. Dans ce cas, $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.[/latex]

Q: [latex]Dérivabilité de $f$ sur un intervalle ouvert $I$ [/latex]
A: [latex] $f$ est dérivable en tout point de $I$.[/latex]

Q: [latex]Lien entre dérivabilité et continuité[/latex]
A: [latex]Si une fonction est dérivable, alors elle est continue.
 Attention : la réciproque est fausse ![/latex]

Q: [latex]Notation pour l'ensemble des fonctions dérivables de $I$ dans $\mathbb{R}$ [/latex]
A: [$] \mathscr{D}(I,\mathbb{R}) [/$]

Q: [latex]Notation pour l'ensemble des fonctions continues de $I$ dans $\mathbb{R}$ [/latex]
A: [latex] $ \mathscr{C}(I,\mathbb{R}) $ [/latex]

Q: [latex]Notation pour l'ensemble des fonctions dérivables sur $I$, dont la dérivée $f'$ est continue sur $I$.[/latex]
A: [$] \mathscr{C}^1(I,\mathbb{R}) [/$]

Q: [latex]Fonction $n$ fois dérivable[/latex]
A: [latex]Fonction $n-1$ fois dérivable, dont la dérivée d'ordre $n-1$, $f^{(n-1)}$, est dérivable.[/latex]

Q: [latex]Notation pour l'ensemble des fonctions $n$ fois dérivable sur $I$ et dont la dérivée $n$-ème $f^{(n)}$, est dérivable sur $I$.[/latex]
A: [$] \mathscr{D}^n(I,\mathbb{R}) [/$]

Q: [latex]Notation pour l'ensemble des fonctions $n$ fois dérivables sur $I$, dont la dérivée $n$-ième, $f^{(n)}$, est continue sur $I$ [/latex]
A: [$] \mathscr{C}^n(I,\mathbb{R}) [/$]

Q: [latex]Notation pour l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables sur $I$ i.e. $\forall n\in \mathbb{N}$, $f\in \mathscr{C}^n(I,\mathbb{R})$ [/latex]
A: [$] \mathscr{C}^{\infty}(I,\mathbb{R}) [/$]

Q: [latex]Si $f$ est dérivable en $a$. Équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a$ [/latex]
A: [$] y=f'(a)(x-a)+f(a) [/$]

Q: [latex]Interprétation du nombre dérivé $f'(a)$ lorsqu'il existe.[/latex]
A: [latex] $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$, au point d'abscisse $a$.[/latex]

Q: [latex]Soit $f:I\to \mathbb{R}$ dérivable.
 [...]
si, et seulement si, [...] .[/latex]
A: $f$ est croissante; $f'\geq 0$ sur $I$

Q: [latex]Soit $f:I\to \mathbb{R}$ dérivable.
 [...]
 si, et seulement si, [...].
[/latex]
A: $f$ est décroissante; $f'\leq 0$ sur $I$

Q: [latex]Soit $f:I\to \mathbb{R}$ dérivable.
[...]
si, et seulement si, [...] [/latex]
A: $f$ est constante sur $I$; $f'=0$ sur $I$

Q: [latex]Soit $f:I\to \mathbb{R}$ dérivable.
[...]
si, et seulement si, [...] .[/latex]
A: $f$ est strictement monotone sur $I$; $f$ est monotone et il n'existe aucun sous-intervalle ouvert non-trivial $J$ de $I$ tel que $\forall x\in J$, $f'(x)=0$

Q: [latex]Soit $f:I\to \mathbb{R}$ dérivable.
Quel est le lien logique entre $f$ est strictement croissante sur $I$ et $f'>0$ sur $I$ [/latex]
A: [latex]Si $f'>0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. La réciproque est fausse ! [/latex]

Q: [latex]Soit $f:I\to \mathbb{R}$ dérivable.
Quel est le lien logique entre $f$ est strictement décroissante sur $I$ et $f'<0$ sur $I$ [/latex]
A: [latex]Si $f'<0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$. La réciproque est fausse ![/latex]

Q: [latex]Dérivation d'une composée de deux fonctions[/latex]
A: [latex] Soit $J$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Soient $f:I\to \mathbb{R}$ vérifiant $f(I)\subset J$ et $g:J\to \mathbb{R}$. Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ est dérivable sur $J$, alors $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et $(g\circ f)'=f'\times (g'\circ f)$.[/latex]

Q: [latex]Dérivation de la réciproque d'une application bijective.[/latex]
A: [latex]Soit $J\subset \mathbb{R}$.
Soient $f:I\to J$ une application continue et bijective de réciproque $f^{-1}: J\to I$. Alors $J$ est un intervalle et $f^{-1}$ est continue.
De plus, si $f$ est dérivable et que $f'$ ne s'annule pas alors $f^{-1}$ est dérivable et $\left(f^{-1}\right)'=\dfrac{1}{f'\circ f^{-1} }$.[/latex]

Q: [latex]Soit $f$ une application bijective. Quel est le lien entre le graphe de $f$ et celui de $f^{-1}$ ?[/latex]
A: [latex]Les graphe de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.[/latex]

Q: [latex]Soient $f$ une fonction dérivable sur $I$ et $a\in I$.
Si [...],
alors [...].
[/latex]
A: $f$ possède un extremum local en $a$; $f'(a)=0$

Q: [latex] Soient $f$ une fonction dérivable sur $I$ et $a\in I$.
 Si [...]
alors [...].
[/latex]
A: $f'$ s'annule \textbf{et change de signe} en $a$; $f$ admet un extremum local en $a$

Q: [latex]Quelles sont les étapes à suivre pour étudier une fonction ? [/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition.
\item Réduire l'intervalle d'étude (parité et périodicité).
\item Étudier les variations de la fonctions (dérivabilité et calcul du signe de la dérivée).
\item Étudier les limites aux bornes de l'intervalle d'étude.
\item Tracer le tableau de variation.
\item Étudier les branches infinies (aux bornes de l'intervalle de définition).
\item Tracer le graphe.
\end{enumerate}
[/latex]